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5. Ecuaciones y potencias

Las matemáticas son el lenguaje con el que se expresa la naturaleza. Entender las matemáticas es entender la naturaleza y poder apreciar su belleza (si no entendemos una lengua, mal podemos comprender a la gente y menos aún disfrutar de su poesía). Citando al Nobel de física Richard Feynman, "hay dos culturas que separan a quienes han podido apreciar la naturaleza, porque entienden las matemáticas, de quienes no".

Vamos a recordar algunos conceptos básicos de matemáticas que los alumnos deben dominar (y no siempre es el caso) para entender la fórmula de Newton.

Ecuaciones.

Las ecuaciones son combinaciones de símbolos matemáticos situados a ambos lados de un signo igual (=).

Observar que ejemplos como

VERANO = VACACIONES

pueden ser ciertos, pero no son exactamente ecuaciones.

Una ecuación fácil es

a = a

donde a es cualquier número. Otra (¿algo más difícil?) es

a x 1 = a

que, por cierto, es lo mismo que escribir

a = a x 1

Pero hay algunas muy enrevesadas

sen p + sen q = 2 sen ((p+q)/2) cos ((p-q)/2)

donde p y q son dos ángulos. Aquí no usaremos ecuaciones complicadas como ésas.

  • Una constante es una parte de la ecuación que no varía. En la ecuación

a = 5 b

el número 5 es una constante mientras que a y b pueden tomar varios valores distintos. Por ejemplo si a vale 5, b vale 1 pero también si a vale 15, b vale 3, y la ecuación sigue siendo correcta.

  • Dos cantidades son proporcionales si, en una ecuación, cada una está en un lado de la igualdad y una de ellas está multiplicada por una constante. Así, a es proporcional a b en

a = 5 b

Son inversamente proporcionales si una de ellas está dividiendo a una constante.

a = 5 / b

Aquí decimos que a es inversamente proporcional a b o, lo que es igual, que b es inversamente proporcional a a.

Potencias.

Si multiplico un número por sí mismo tenemos otro número que se puede expresar así:

a x a = a2

En esta nueva notación* se dice que a está elevado al cuadrado, que su exponente es dos o que está elevado a la segunda potencia.

(*) Notación: Forma de expresar un concepto, aceptada por convenio.

Esto lo podemos hacer muchas veces. Por ejemplo, elevar a la quinta potencia:

a x a x a x a x a = a5

que es muy distinto a sumar cinco veces

a + a + a + a + a = 5a

aquí el 5 está multiplicando a la a ( 5a ). En las potencias va detrás y arriba (a5).

Obsérvese que a1 no es a x a

a1 = a

Por otro lado, los matemáticos han convenido representar el número 1 de la siguiente forma

a0 = 1

(Este convenio no es un capricho, sino que facilita la forma de operar que se establece con esta nueva notación).

En esta notación se usan también exponentes negativos

a-1 = 1/ a1

Como vemos, si el exponente es negativo, significa que a está en el divisor de una fracción. Otros ejemplos:

a-2 = 1 / a2

a-5 = 1 / a5

¿Y si la potencia del divisor es negativa? Ya lo hemos dicho: se convierte en una potencia (sin fracción) del signo contrario.

1 / a-5 = a5